Математический анализ Примеры

$x^{2} - x p + p^{3} = 8$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d p} (x^{2} - x p + p^{3}) = \frac{d}{d p} (8)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x p + p^{3}$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [x^{2}] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d p} [x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ имеет вид $f' (g (p)) g' (p)$ , где $f (p) = p^{2}$ и $g (p) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 x \frac{d}{d p} [x] + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d p} [x]$ в виде $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d p} [- x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d p} [- x p]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $p$ , производная $- x p$ по $p$ равна $- \frac{d}{d p} [x p]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d p} [x p] + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ имеет вид $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ , где $f (p) = x$ и $g (p) = p$ .

$2 x x' - (x \frac{d}{d p} [p] + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p \frac{d}{d p} [x]) + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d p} [x]$ в виде $x'$ .

$2 x x' - (x \cdot 1 + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x x' - (x + p x') + \frac{d}{d p} [p^{3}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 x x' - (x + p x') + 3 p^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x x' - x - (p x') + 3 p^{2}$

Этап 2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x x' - x - p x' + 3 p^{2}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x$

Этап 3

Поскольку $8$ является константой относительно $p$ , производная $8$ относительно $p$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 p^{2} + 2 x x' - p x' - x = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 p^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x x' - p x' - x = - 3 p^{2}$

Этап 5.1.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x x' - p x' = - 3 p^{2} + x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x'$ из $2 x x' - p x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x'$ из $2 x x'$ .

$x' (2 x) - p x' = - 3 p^{2} + x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x'$ из $- p x'$ .

$x' (2 x) + x' (- p) = - 3 p^{2} + x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (2 x) + x' (- p)$ .

$x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ на $2 x - p$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x' (2 x - p) = - 3 p^{2} + x$ на $2 x - p$ .

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2 x - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (2 x - p)}{2 x - p} = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 3 p^{2}}{2 x - p} + \frac{x}{2 x - p}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{- 3 p^{2} + x}{2 x - p}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 p^{2}$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2}) + x}{2 x - p}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2}) - 1 (- x)}{2 x - p}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 p^{2}) - 1 (- x)$ .

$x' = \frac{- (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Этап 5.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перепишем $- (3 p^{2} - x)$ в виде $- 1 (3 p^{2} - x)$ .

$x' = \frac{- 1 (3 p^{2} - x)}{2 x - p}$

Этап 5.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{3 p^{2} - x}{2 x - p}$