Математический анализ Примеры

$v = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$x' = \frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3}))$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x'} x' = \frac{d}{d x'} (\frac{1}{3} \cdot (p (2 a x^{2} - x^{3})))$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [{x'}^{n}]$ имеет вид $n {x'}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Объединим $p$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d v} [\frac{p}{3} \cdot (2 a x^{2} - x^{3})]$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{p}{3}$ является константой относительно $x'$ , производная $\frac{p}{3} (2 a x^{2} - x^{3})$ по $x'$ равна $\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} \frac{d}{d v} [2 a x^{2} - x^{3}]$

Этап 4.1.3

По правилу суммы производная $2 a x^{2} - x^{3}$ по $x'$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (\frac{d}{d v} [2 a x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.1.4

Поскольку $2 a$ является константой относительно $x'$ , производная $2 a x^{2}$ по $x'$ равна $2 a \frac{d}{d v} [x^{2}]$ .

$\frac{p}{3} (2 a \frac{d}{d v} [x^{2}] + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d v} [f (g (x'))]$ имеет вид $f' (g (x')) g' (x')$ , где $f (x') = {x'}^{2}$ и $g (x') = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 u_{1} \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$\frac{p}{3} (2 a (2 x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{p}{3} (4 a (x \frac{d}{d v} [x]) + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.4

Перепишем $\frac{d}{d v} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' + \frac{d}{d v} [- x^{3}])$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x'$ , производная $- x^{3}$ по $x'$ равна $- \frac{d}{d v} [x^{3}]$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - \frac{d}{d v} [x^{3}])$

Этап 4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d v} [x]))$

Этап 4.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Этап 4.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - (3 x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Этап 4.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 (x^{2} \frac{d}{d v} [x]))$

Этап 4.8

Перепишем $\frac{d}{d v} [x]$ в виде $x'$ .

$\frac{p}{3} (4 a x x' - 3 x^{2} x')$

Этап 4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{p}{3} (4 a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Объединим $4$ и $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 p}{3} (a x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2.2

Объединим $a$ и $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{a (4 p)}{3} (x x') + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2.3

Объединим $x$ и $\frac{a (4 p)}{3}$ .

$\frac{x (a (4 p))}{3} x' + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2.4

Объединим $\frac{x (a (4 p))}{3}$ и $x'$ .

$\frac{x (a (4 p)) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2.5

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$\frac{x (4 \cdot a p) x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2.6

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{4 \cdot x a p x'}{3} + \frac{p}{3} (- 3 x^{2} x')$

Этап 4.9.2.7

Объединим $- 3$ и $\frac{p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{- 3 p}{3} (x^{2} x')$

Этап 4.9.2.8

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 3 p}{3}$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p)}{3} x'$

Этап 4.9.2.9

Объединим $\frac{x^{2} (- 3 p)}{3}$ и $x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- 3 p) x'}{3}$

Этап 4.9.2.10

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $x^{2} (- 3 p) x'$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3}$

Этап 4.9.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 (1)}$

Этап 4.9.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{3 (x^{2} (- p) x')}{3 \cdot 1}$

Этап 4.9.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x a p x'}{3} + \frac{x^{2} (- p) x'}{1}$

Этап 4.9.2.10.2.4

Разделим $x^{2} (- p) x'$ на $1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} + x^{2} (- p) x'$

Этап 4.9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = \frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$

Этап 6

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$ .

$\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x' = 1$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x p x'$ из $\frac{4 x a p x'}{3} - x^{2} p x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x p x'$ из $\frac{4 x a p x'}{3}$ .

$x p x' \frac{4 a}{3} - x^{2} p x' = 1$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x p x'$ из $- x^{2} p x'$ .

$x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x) = 1$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x p x'$ из $x p x' \frac{4 a}{3} + x p x' (- x)$ .

$x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ на $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $x p x' (\frac{4 a}{3} - x) = 1$ на $x p (\frac{4 a}{3} - x)$ .

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{x p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{p x' (\frac{4 a}{3} - x)}{p (\frac{4 a}{3} - x)} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.2.3

Сократим общий множитель $\frac{4 a}{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (\frac{4 a}{3} - x)}{\frac{4 a}{3} - x} = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x)}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Чтобы записать $- x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} - x \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 6.3.3.1.2

Объединим $- x$ и $\frac{3}{3}$ .

$x' = \frac{1}{x p (\frac{4 a}{3} + \frac{- x \cdot 3}{3})}$

Этап 6.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - x \cdot 3}{3}}$

Этап 6.3.3.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x' = \frac{1}{x p \frac{4 a - 3 x}{3}}$

Этап 6.3.3.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.5.1

Объединим $x$ и $\frac{4 a - 3 x}{3}$ .

$x' = \frac{1}{p \frac{x (4 a - 3 x)}{3}}$

Этап 6.3.3.1.5.2

Объединим $p$ и $\frac{x (4 a - 3 x)}{3}$ .

$x' = \frac{1}{\frac{p (x (4 a - 3 x))}{3}}$

Этап 6.3.3.1.6

Избавимся от ненужных скобок.

$x' = \frac{1}{\frac{p x (4 a - 3 x)}{3}}$

Этап 6.3.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x' = 1 \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Этап 6.3.3.3

Умножим $\frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$ на $1$ .

$x' = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$

Этап 7

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d v}$ .

$\frac{d x}{d v} = \frac{3}{p x (4 a - 3 x)}$