Математический анализ Примеры

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(6 x y + 5)}^{2}$ в виде $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ .

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

Этап 2.2

Развернем $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.4

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

Этап 2.3.1.6

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

Этап 2.3.2

Добавим $30 x y$ и $30 x y$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.4.2

Поскольку $36$ является константой относительно $y$ , производная $36 x^{2} y^{2}$ по $y$ равна $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y^{2}$ .

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.8

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.9

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.10

Поскольку $60$ является константой относительно $y$ , производная $60 x y$ по $y$ равна $60 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.11

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.12.2

Умножим $x$ на $1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.13

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

Этап 2.14

Поскольку $25$ является константой относительно $y$ , производная $25$ относительно $y$ равна $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

Этап 2.15

Добавим $36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ и $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Этап 2.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Этап 2.16.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.3.1

Умножим $2$ на $36$ .

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Этап 2.16.3.2

Умножим $2$ на $36$ .

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

Этап 2.16.4

Изменим порядок членов.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $y$ , производная $12 y$ по $y$ равна $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$12 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $72 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

Этап 5.1.2

Вычтем $60 x$ из обеих частей уравнения.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $12 y x'$ из $72 y^{2} x x' + 60 y x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $12 y x'$ из $72 y^{2} x x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $12 y x'$ из $60 y x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $12 y x'$ из $12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ .

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ на $12 y (6 y x + 5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ на $12 y (6 y x + 5)$ .

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $6 y x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 72$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $- 60$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.1

Вынесем множитель $12$ из $- 60 x$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.5.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Этап 5.3.3.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Этап 5.3.3.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (6 y x + 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ на $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(6 y x + 5) y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$