Математический анализ Примеры

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y + y x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.5

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Этап 2.3.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Добавим $2 y x x'$ и $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Этап 2.4.1.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Этап 3

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6$ относительно $y$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Этап 5.2

Разделим каждый член $4 x y x' = - 2 x^{2}$ на $4 x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $4 x y x' = - 2 x^{2}$ на $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Этап 5.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Этап 5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$