Математический анализ Примеры

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{3}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{3}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x$ и $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$2 (x + y x')$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 (y x')$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$2 y x' + 2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 y x'$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

Этап 5.2

Добавим $3 y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $3 x^{2} x' - 2 y x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $3 x^{2} x'$ .

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $- 2 y x'$ .

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ .

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ на $3 x^{2} - 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ на $3 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 x^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$