Математический анализ Примеры

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{5} + y^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d y} (x^{5} + y^{5})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная ${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{3}$ и $g (y) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - y$ .

$3 {(x - y)}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Этап 2.4.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$3 {(x + y)}^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$3 ((x + y) (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.2

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.3.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.3.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.5

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.6

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 ((x - y) (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.7

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x (x - y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.8.1.4.1

Перенесем $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.8.2.1

Перенесем $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.8.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.10

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 (x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.11

Перепишем ${(x - y)}^{2}$ в виде $(x - y) (x - y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 ((x - y) (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.12

Развернем $(x - y) (x - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x (x - y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.13.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.1.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.13.1.4.1

Перенесем $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.1.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.1.6

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.2

Вычтем $y x$ из $- x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.13.2.1

Перенесем $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.13.2.2

Вычтем $x y$ из $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.14

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} + 3 (- 2 x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.15

Умножим $- 2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} - 6 (x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.16

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Этап 2.4.5.17

Перепишем ${(x + y)}^{2}$ в виде $(x + y) (x + y)$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 ((x + y) (x + y)) x'$

Этап 2.4.5.18

Развернем $(x + y) (x + y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x (x + y) + y (x + y)) x'$

Этап 2.4.5.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) x'$

Этап 2.4.5.18.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) x'$

Этап 2.4.5.19

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.19.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) x'$

Этап 2.4.5.19.1.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) x'$

Этап 2.4.5.19.2

Добавим $x y$ и $y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.19.2.1

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) x'$

Этап 2.4.5.19.2.2

Добавим $x y$ и $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x'$

Этап 2.4.5.20

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2}) x'$

Этап 2.4.5.21

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2}) x'$

Этап 2.4.5.22

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.6

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 0 + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.6.2

Добавим $6 x y + 3 y^{2}$ и $0$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.6.3

Вычтем $3 y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$6 x y + 6 x y + 0 + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.6.4

Добавим $6 x y + 6 x y$ и $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.6.5

Добавим $- 6 x y x'$ и $6 x y x'$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 0 + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.6.6

Добавим $6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ и $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.7

Добавим $6 x y$ и $6 x y$ .

$12 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.8

Добавим $3 x^{2} x'$ и $3 x^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Этап 2.4.9

Добавим $3 y^{2} x'$ и $3 y^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{5} + y^{5}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} x' + 5 y^{4}$

Этап 3.3.2

Изменим порядок членов.

$5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' = 5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $5 x^{4} x'$ из обеих частей уравнения.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4}$

Этап 5.2

Вычтем $12 x y$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x'$ из $6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $x'$ из $6 x^{2} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $x'$ из $6 y^{2} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $x'$ из $- 5 x^{4} x'$ .

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Этап 5.3.4

Вынесем множитель $x'$ из $x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2})$ .

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $x'$ из $x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4})$ .

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ на $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ на $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{5 y^{4} - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $5 y^{4} - 12 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $5 y^{4}$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3}) - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 12 x y$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3}) + y (- 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 5.4.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (5 y^{3}) + y (- 12 x)$ .

$x' = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$