Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

Этап 1.2.2

Разложим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

Этап 1.2.2.3

Подставим $5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Подставим $5$ в многочлен.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.3

Умножим $2$ на $125$ .

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.5

Умножим $- 3$ на $25$ .

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.6

Вычтем $75$ из $250$ .

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.7

Умножим $- 36$ на $5$ .

$175 - 180 + 5$

Этап 1.2.2.3.8

Вычтем $180$ из $175$ .

$- 5 + 5$

Этап 1.2.2.3.9

Добавим $- 5$ и $5$ .

$0$

Этап 1.2.2.4

Поскольку $5$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

Этап 1.2.2.5

Разделим $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ на $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

Этап 1.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Этап 1.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Этап 1.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Этап 1.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

Этап 1.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{2} - 35 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

Этап 1.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

Этап 1.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Этап 1.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Этап 1.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

Этап 1.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 5$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

Этап 1.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

Этап 1.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

Этап 1.2.2.6

Запишем $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ в виде набора множителей.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 1.2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 x^{2} + 7 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 x^{2} + 7 x - 1$ к $0$ .

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.5.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 7$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.1.3

Добавим $49$ и $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.1.3

Добавим $49$ и $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

Этап 1.2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.1.3

Добавим $49$ и $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

Этап 1.2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ верно.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.4

Упростим $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.4.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.4.1.4

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Этап 2.2.4.1.5

Умножим $- 36$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

Этап 2.2.4.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 5$

Этап 2.2.4.2.3

Добавим $0$ и $5$ .

$y = 5$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 5)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 5)$

Этап 4