Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 2 x^{2}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{4} - 2 x^{2}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{4} - 2 x^{2} = 0$ .

$x^{4} - 2 x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 2 u = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u^{2} - 2 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{2}$ .

$u \cdot u - 2 u = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- 2 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 2 = 0$

Этап 1.2.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u + u \cdot - 2$ .

$u (u - 2) = 0$

Этап 1.2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 1.2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 1.2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 1.2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 2 \cdot 0^{2}$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Этап 2.2.4.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4