Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} = 0$ .

$x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ , который присутствует в каждом члене.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(u)}^{\frac{5}{2}} - 5 u = 0$

Этап 1.2.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{\frac{5}{2}} - 5 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $u$ из $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u \cdot u^{\frac{3}{2}} - 5 u = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $u$ из $- 5 u$ .

$u \cdot u^{\frac{3}{2}} + u \cdot - 5 = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot u^{\frac{3}{2}} + u \cdot - 5$ .

$u (u^{\frac{3}{2}} - 5) = 0$

Этап 1.2.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$

Этап 1.2.4.3

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 1.2.4.4

Приравняем $u^{\frac{3}{2}} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Приравняем $u^{\frac{3}{2}} - 5$ к $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$

Этап 1.2.4.4.2

Решим $u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u^{\frac{3}{2}} = 5$

Этап 1.2.4.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.4.2.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.3.1

Упростим ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.4.2.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.4.2.3.1.2

Упростим.

$u = 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (u^{\frac{3}{2}} - 5) = 0$ верно.

$u = 0, 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0, 5^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x^{\frac{2}{3}} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Упростим $\pm 0^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.6.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm 0^{3}$

Этап 1.2.6.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.2.6.2.2.1.4

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.7

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$x = 5$

Этап 1.2.8

Перечислим все решения.

$x = 0, 5$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (5, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = {(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{\frac{5}{3}} - 5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4

Упростим ${(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 0^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 0^{5} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4.1.5

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$y = 0 - 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.2.4.1.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 2.2.4.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.7.1

Сократим общий множитель.

$y = 0 - 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 2.2.4.1.7.2

Перепишем это выражение.

$y = 0 - 5 \cdot 0^{2}$

Этап 2.2.4.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0$

Этап 2.2.4.1.9

Умножим $- 5$ на $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 2.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (5, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Этап 4