Математический анализ Примеры

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 24}$ в виде ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $20$ влево от $C$ .

$\frac{d}{d x} [20 C]$

Этап 3.2

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 C$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [C]$ .

$20 \frac{d}{d x} [C]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [C]$ в виде $C'$ .

$20 C'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 24$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Этап 4.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Этап 4.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 24$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Этап 4.2.2

По правилу суммы производная $2 x + 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

Этап 4.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

Этап 4.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

Этап 4.2.5

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 4.2.11

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

Этап 4.2.12

Добавим $2$ и $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

Этап 4.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Этап 4.2.14

Объединим $\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Этап 4.2.15

Перенесем $2$ влево от ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.2.16

Перенесем ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.17

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.18

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Разделим каждый член $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ на $20$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ на $20$ .

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $C'$ на $1$ .

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

Этап 6.3.2

Объединим.

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Этап 6.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $1$ на $1$ .

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Этап 6.3.3.2

Перенесем $20$ влево от ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 7

Заменим $C'$ на $\frac{d C}{d x}$ .

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$