Математический анализ Примеры

$g (a - 3) = \frac{1}{(a + 3) - 3}$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$g (a - 3) = \frac{1}{a + 3 - 3}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d a} (g (a - 3)) = \frac{d}{d a} (\frac{1}{a + 3 - 3})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ имеет вид $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ , где $f (a) = g$ и $g (a) = a - 3$ .

$g \frac{d}{d a} [a - 3] + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $a - 3$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]$ .

$g (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g (1 + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $a$ , производная $- 3$ относительно $a$ равна $0$ .

$g (1 + 0) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$g \cdot 1 + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Этап 3.2.4.2

Умножим $g$ на $1$ .

$g + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d a} [g]$ в виде $g'$ .

$g + (a - 3) g'$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g + a g' - 3 g'$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$a g' + g - 3 g'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a + 0}]$

Этап 4.1.2

Добавим $a$ и $0$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a}]$

Этап 4.1.3

Перепишем $\frac{1}{a}$ в виде $a^{- 1}$ .

$\frac{d}{d a} [a^{- 1}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- a^{- 2}$

Этап 4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{a^{2}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$a g' + g - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}}$

Этап 6

Решим относительно $g'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $g$ из обеих частей уравнения.

$a g' - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Этап 6.2

Вынесем множитель $g'$ из $a g' - 3 g'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $g'$ из $a g'$ .

$g' a - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $g'$ из $- 3 g'$ .

$g' a + g' \cdot - 3 = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $g'$ из $g' a + g' \cdot - 3$ .

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Этап 6.3

Разделим каждый член $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ на $a - 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ на $a - 3$ .

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $a - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $g'$ на $1$ .

$g' = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$g' = - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{a - 3}$ на $\frac{1}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} + \frac{- g}{a - 3}$

Этап 6.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3}$

Этап 6.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{g}{a - 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}}$

Этап 6.3.3.3

Умножим $\frac{g}{a - 3}$ на $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Этап 6.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$g' = \frac{- 1 - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Этап 6.3.3.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$g' = \frac{- 1 (1) - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Этап 6.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- g a^{2}$ .

$g' = \frac{- 1 (1) - (g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Этап 6.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (g a^{2})$ .

$g' = \frac{- 1 (1 + g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Этап 6.3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Этап 6.3.3.8.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

Этап 7

Заменим $g'$ на $\frac{d g}{d a}$ .

$\frac{d g}{d a} = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$