Математический анализ Примеры

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Этап 1

Умножим $h$ на $x$ .

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = h x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $h x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $h x$ .

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = h$ и $g (x) = x$ .

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

Этап 3.3.2

Умножим $h$ на $1$ .

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [h]$ в виде $h'$ .

$\cos (h x) (h + x h')$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

Этап 3.5.2

Изменим порядок членов.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Этап 4.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 4.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 4.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 4.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.5.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Этап 4.5.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Этап 4.6.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Этап 6

Решим относительно $h'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Изменим порядок множителей в $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ .

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Этап 6.2

Вычтем $h \cos (h x)$ из обеих частей уравнения.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

Этап 6.3

Разделим каждый член $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ на $x \cos (h x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ на $x \cos (h x)$ .

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель $\cos (h x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.2.2.2

Разделим $h'$ на $1$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Разделим дроби.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\cos (h x)}$ в $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.4

Объединим.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.6

Объединим $\frac{e^{x}}{2 x}$ и $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.7

Разделим дроби.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.8

Переведем $\frac{1}{\cos (h x)}$ в $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.10

Объединим.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.11

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.12

Объединим $\frac{e^{- x}}{2 x}$ и $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.13

Сократим общий множитель $\cos (h x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.13.1

Сократим общий множитель.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Этап 6.3.3.1.13.2

Перепишем это выражение.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

Этап 6.3.3.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

Этап 7

Заменим $h'$ на $\frac{d h}{d x}$ .

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$