Математический анализ Примеры

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Этап 2

Производная $f$ по $x$ равна $f'$ .

$f'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Этап 3.2.3

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Этап 3.3.3

Поскольку $\frac{2}{7 y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{7 y}$ по $x$ равна $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{2}{7 y}$ на $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Этап 3.3.6

Объединим $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ и $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Этап 3.3.7

Перенесем $2$ влево от $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Этап 3.3.8

Объединим $4$ и $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Этап 3.3.9

Умножим $2$ на $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Этап 3.3.10

Объединим $y$ и $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Этап 3.3.11

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Этап 3.3.11.2

Перепишем это выражение.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Этап 5

Заменим $f'$ на $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$