Математический анализ Примеры

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = f$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $P$ , производная $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ по $P$ равна $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ .

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ имеет вид $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ , где $f (P) = f^{2} P$ и $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ имеет вид $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ , где $f (P) = f^{2}$ и $g (P) = P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ имеет вид $n P^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.5.2

Умножим $f^{2}$ на $1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ имеет вид $f' (g (P)) g' (P)$ , где $f (P) = P^{2}$ и $g (P) = f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от $P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.8

Перепишем $\frac{d}{d P} [f]$ в виде $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.9

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

По правилу суммы производная $1 - f$ по $P$ имеет вид $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.10.2

Поскольку $1$ является константой относительно $P$ , производная $1$ относительно $P$ равна $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.10.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.10.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $P$ , производная $- f$ по $P$ равна $- \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.11

Перепишем $\frac{d}{d P} [f]$ в виде $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.12

По правилу суммы производная $1 + f$ по $P$ имеет вид $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.13

Поскольку $1$ является константой относительно $P$ , производная $1$ относительно $P$ равна $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.14

Добавим $0$ и $\frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.15

Перепишем $\frac{d}{d P} [f]$ в виде $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.16

Объединим $4$ и $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим правило умножения к $(1 + f) (1 - f)$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.1

Развернем $(1 + f) (1 - f)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.1.2

Умножим $- f$ на $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.1.3

Умножим $f$ на $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.1.5

Умножим $f$ на $f$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.2.1.5.1

Перенесем $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.1.5.2

Умножим $f$ на $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.2

Добавим $- f$ и $f$ .

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.3

Развернем $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.4.1

Умножим $f^{2}$ на $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.2

Умножим $2 P f f'$ на $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.3

Умножим $f^{2}$ на $f^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.4.3.1

Перенесем $f^{2}$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.4

Умножим $f^{2}$ на $f$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.4.4.1

Перенесем $f$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.4.2

Умножим $f$ на $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.4.4.2.1

Возведем $f$ в степень $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.6.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.6.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.6.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.7

Избавимся от скобок.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.8

Умножим $- f'$ на $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.9

Умножим $- f^{2} P (- f')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.9.2

Умножим $f^{2}$ на $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.10

Умножим $f^{2}$ на $f$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.10.1

Перенесем $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.10.2

Умножим $f$ на $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.10.2.1

Возведем $f$ в степень $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.10.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.11

Умножим $- f^{3} P (- f')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.11.2

Умножим $f^{3}$ на $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.12

Умножим $f'$ на $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.13

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.14

Умножим $f^{2}$ на $f$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.14.1

Перенесем $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.14.2

Умножим $f$ на $f^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.14.2.1

Возведем $f$ в степень $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.14.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.15

Перепишем $- 1 f'$ в виде $- f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.16

Умножим $- f^{3} P (- f')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1.16.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.1.16.2

Умножим $f^{3}$ на $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.2

Объединим противоположные члены в $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.2.1

Вычтем $4 f^{2} P f'$ из $4 f^{2} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.2.2

Добавим $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ и $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.3

Добавим $- 8 f^{3} P f'$ и $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.4

Объединим противоположные члены в $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.4.1

Добавим $- 4 f^{3} P f'$ и $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.6.4.2

Добавим $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ и $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.8

Вынесем множитель $4 f$ из $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.8.1

Вынесем множитель $4 f$ из $- 4 f^{4}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.8.2

Вынесем множитель $4 f$ из $4 f^{2}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.8.3

Вынесем множитель $4 f$ из $8 P f f'$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.8.4

Вынесем множитель $4 f$ из $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.8.5

Вынесем множитель $4 f$ из $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- f^{3}$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.10

Вынесем множитель $- 1$ из $f$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (f^{3}) - 1 (- f)$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.12

Вынесем множитель $- 1$ из $2 P f'$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.14

Перепишем $- (f^{3} - f - 2 P f')$ в виде $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 2.17.16

Изменим порядок множителей в $- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ .

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Этап 3

Поскольку $K$ является константой относительно $P$ , производная $K$ относительно $P$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

Этап 5

Решим относительно $f'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $f'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ на $4 f$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Разделим каждый член $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ на $4 f$ .

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Этап 5.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Этап 5.2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Этап 5.2.1.2.2

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Этап 5.2.1.2.2.2

Разделим $f^{3} - f - 2 P f'$ на $1$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

Этап 5.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

Этап 5.2.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

Этап 5.2.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

Этап 5.2.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

Этап 5.2.1.3.2

Разделим $0$ на $f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

Этап 5.2.2

Перенесем все члены без $f'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $f^{3}$ из обеих частей уравнения.

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $f$ к обеим частям уравнения.

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

Этап 5.2.3

Разделим каждый член $- 2 P f' = - f^{3} + f$ на $- 2 P$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим каждый член $- 2 P f' = - f^{3} + f$ на $- 2 P$ .

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Этап 5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Этап 5.2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Этап 5.2.3.2.2.2

Разделим $f'$ на $1$ .

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Этап 5.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Этап 5.2.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

Этап 6

Заменим $f'$ на $\frac{d f}{d P}$ .

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$