Математический анализ Примеры

$p = \frac{1000 - 10 x}{40 - x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (p) = \frac{d}{d x} (\frac{1000 - 10 x}{40 - x})$

Этап 2

Производная $p$ по $x$ равна $p'$ .

$p'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1000 - 10 x$ и $g (x) = 40 - x$ .

$\frac{(40 - x) \frac{d}{d x} [1000 - 10 x] - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1000 - 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1000] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{(40 - x) (\frac{d}{d x} [1000] + \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $1000$ является константой относительно $x$ , производная $1000$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(40 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 10 x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{(40 - x) \frac{d}{d x} [- 10 x] - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(40 - x) (- 10 \frac{d}{d x} [x]) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(40 - x) (- 10 \cdot 1) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 10$ на $1$ .

$\frac{(40 - x) \cdot - 10 - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $- 10$ влево от $40 - x$ .

$\frac{- 10 \cdot (40 - x) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [40 - x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $40 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [40] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (\frac{d}{d x} [40] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 10 (40 - x) - (1000 - 10 x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + 1 (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.11.2

Умножим $1000 - 10 x$ на $1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + (1000 - 10 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + (1000 - 10 x) \cdot 1}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.2.13

Умножим $1000 - 10 x$ на $1$ .

$\frac{- 10 (40 - x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 10 \cdot 40 - 10 (- x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $- 10$ на $40$ .

$\frac{- 400 - 10 (- x) + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$\frac{- 400 + 10 x + 1000 - 10 x}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Объединим противоположные члены в $- 400 + 10 x + 1000 - 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Вычтем $10 x$ из $10 x$ .

$\frac{- 400 + 0 + 1000}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $- 400$ и $0$ .

$\frac{- 400 + 1000}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 400$ и $1000$ .

$\frac{600}{{(40 - x)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$p' = \frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $p'$ на $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = \frac{600}{{(- x + 40)}^{2}}$