Математический анализ Примеры

$p = 4 q e^{q^{9}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

Этап 2

Производная $p$ по $q$ равна $p'$ .

$p'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $q$ , производная $4 q e^{q^{9}}$ по $q$ равна $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ .

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ имеет вид $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ , где $f (q) = q$ и $g (q) = e^{q^{9}}$ .

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ имеет вид $f' (g (q)) g' (q)$ , где $f (q) = e^{q}$ и $g (q) = q^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $q^{9}$ .

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $q^{9}$ .

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.5

Возведем $q$ в степень $1$ .

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $8$ и $1$ .

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.7.2

Перенесем $9$ влево от $e^{q^{9}}$ .

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим $e^{q^{9}}$ на $1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

Этап 3.10.2

Умножим $9$ на $4$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Этап 3.10.3

Изменим порядок членов.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

Этап 3.10.4

Изменим порядок множителей в $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Этап 5

Заменим $p'$ на $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$