Математический анализ Примеры

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

Этап 2

Производная $f$ по $y$ равна $f'$ .

$f'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $e^{x} \sin (y + z) - z$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x} \sin (y + z)$ по $y$ равна $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \sin (y)$ и $g (y) = y + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y + z$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + z$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $y + z$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.5

Поскольку $z$ является константой относительно $y$ , производная $z$ относительно $y$ равна $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.2.7

Умножим $\cos (y + z)$ на $1$ .

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- z$ является константой относительно $y$ , производная $- z$ относительно $y$ равна $0$ .

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $e^{x} \cos (y + z)$ и $0$ .

$e^{x} \cos (y + z)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

Этап 5

Заменим $f'$ на $\frac{d f}{d y}$ .

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$