Математический анализ Примеры

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = b^{2}$ и $g (x) = x^{2}$ .

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [b]$ в виде $b'$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $b^{2}$ .

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $a^{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ и $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{2} b^{2}$ по $x$ равна $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $b$ .

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $b$ .

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [b]$ в виде $b'$ .

$2 a^{2} b b'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

Этап 5

Решим относительно $b'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2 a^{2} b b'$ из обеих частей уравнения.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2 b^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 b b'$ из $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 b b'$ из $2 x^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 b b'$ из $- 2 a^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 b b'$ из $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ .

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Этап 5.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = a$ .

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

Этап 5.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

Этап 5.5

Разделим каждый член $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ на $2 b (x + a) (x - a)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ на $2 b (x + a) (x - a)$ .

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.3

Сократим общий множитель $x + a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.4

Сократим общий множитель $x - a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.2.4.2

Разделим $b'$ на $1$ .

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 b^{2} x$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 b (x + a) (x - a)$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Этап 5.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

Этап 5.5.3.2

Сократим общий множитель $b^{2}$ и $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Вынесем множитель $b$ из $- b^{2} x$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

Этап 5.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $b$ из $(b (x + a)) (x - a)$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Этап 5.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Этап 5.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

Этап 6

Заменим $b'$ на $\frac{d b}{d x}$ .

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$