Математический анализ Примеры

$k (x) = - 2 {(12 x^{2} + 5)}^{- 6}$

Этап 1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 {(12 x^{2} + 5)}^{- 6}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [{(12 x^{2} + 5)}^{- 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(12 x^{2} + 5)}^{- 6}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 6}$ и $g (x) = 12 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $12 x^{2} + 5$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 6$ .

$- 2 (- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $12 x^{2} + 5$ .

$- 2 (- 6 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$12 ({(12 x^{2} + 5)}^{- 7} \frac{d}{d x} [12 x^{2} + 5])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $12 x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.3

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $12$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (24 x + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (24 x + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $24 x$ и $0$ .

$12 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} (24 x)$

Этап 3.7.2

Умножим $24$ на $12$ .

$288 {(12 x^{2} + 5)}^{- 7} x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$288 \frac{1}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}} x$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $288$ и $\frac{1}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}}$ .

$\frac{288}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}} x$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{288}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}}$ и $x$ .

$\frac{288 x}{{(12 x^{2} + 5)}^{7}}$