Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} {(x - 9)}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(x - 9)}^{5}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{5}] + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 9$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{4} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 9]) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 9$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 9]) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.3

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4} \cdot 1) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.4.2

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4}) + {(x - 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4}) + {(x - 9)}^{5} (4 x^{3})$

Этап 3.6

Перенесем $4$ влево от ${(x - 9)}^{5}$ .

$x^{4} (5 {(x - 9)}^{4}) + 4 \cdot {(x - 9)}^{5} x^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 9)}^{4}$ из $x^{4} (5 {(x - 9)}^{4}) + 4 {(x - 9)}^{5} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 9)}^{4}$ из $x^{4} (5 {(x - 9)}^{4})$ .

$x^{3} {(x - 9)}^{4} (x \cdot (5)) + 4 {(x - 9)}^{5} x^{3}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 9)}^{4}$ из $4 {(x - 9)}^{5} x^{3}$ .

$x^{3} {(x - 9)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{3} {(x - 9)}^{4} (4 (x - 9))$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x^{3} {(x - 9)}^{4}$ из $x^{3} {(x - 9)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{3} {(x - 9)}^{4} (4 (x - 9))$ .

$x^{3} {(x - 9)}^{4} (x \cdot (5) + 4 (x - 9))$

Этап 4.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x^{3} {(x - 9)}^{4} (5 x + 4 (x - 9))$