Математический анализ Примеры

$y = {(- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d ?} [f (g (?))]$ имеет вид $f' (g (?)) g' (?)$ , где $f (?) = ?^{2}$ и $g (?) = - 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d ?} [- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d ?} [- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \frac{d}{d ?} [- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}$ по $?$ имеет вид $\frac{d}{d ?} [- 1] + \frac{d}{d ?} [- \frac{\csc (x)}{2}] + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}]$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (\frac{d}{d ?} [- 1] + \frac{d}{d ?} [- \frac{\csc (x)}{2}] + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}])$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $?$ , производная $- 1$ относительно $?$ равна $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + \frac{d}{d ?} [- \frac{\csc (x)}{2}] + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}])$

Этап 2.3

Поскольку $- \frac{\csc (x)}{2}$ является константой относительно $?$ , производная $- \frac{\csc (x)}{2}$ относительно $?$ равна $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + 0 + \frac{d}{d ?} [- \frac{x^{2}}{4}])$

Этап 2.4

Поскольку $- \frac{x^{2}}{4}$ является константой относительно $?$ , производная $- \frac{x^{2}}{4}$ относительно $?$ равна $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + 0 + 0)$

Этап 3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) (0 + 0)$

Этап 3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$2 (- 1 - \frac{\csc (x)}{2} - \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) + 2 (- \frac{x^{2}}{4})) \cdot 0$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot - 1 \cdot 0 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 + 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 - 2 \frac{\csc (x)}{2} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{\csc (x)}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 \csc (x)}{2} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \csc (x)$ .

$0 + \frac{2 (- \csc (x))}{2} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$0 + \frac{2 (- \csc (x))}{2 (1)} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 (- \csc (x))}{2 \cdot 1} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- \csc (x)}{1} \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.5.2.4

Разделим $- \csc (x)$ на $1$ .

$0 - \csc (x) \cdot 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.6

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 \csc (x) + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.7

Умножим $0$ на $\csc (x)$ .

$0 + 0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.8

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2 (- \frac{x^{2}}{4}) \cdot 0$

Этап 4.3.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{4} \cdot 0$

Этап 4.3.10

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{4} \cdot 0$

Этап 4.3.11

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2})}{4} \cdot 0$

Этап 4.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2})}{2 (2)} \cdot 0$

Этап 4.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 2} \cdot 0$

Этап 4.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- x^{2}}{2} \cdot 0$

Этап 4.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{x^{2}}{2} \cdot 0$

Этап 4.3.13

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 0 \frac{x^{2}}{2}$

Этап 4.3.14

Умножим $0$ на $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + 0$

Этап 4.3.15

Добавим $0$ и $0$ .

$0$