Математический анализ Примеры

$\frac{1 + 3 i}{3 + 2 i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1 + 3 i}{3 + 2 i}$ на комплексно сопряженное $3 + 2 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1 + 3 i}{3 + 2 i} \cdot \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(1 + 3 i) (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(1 + 3 i) (3 - 2 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (3 - 2 i) + 3 i (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 2 i) + 3 i (3 - 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 2 i) + 3 i \cdot 3 + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 + 1 (- 2 i) + 3 i \cdot 3 + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $- 2 i$ на $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 3 i \cdot 3 + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i + 3 i (- 2 i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $3 i (- 2 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 i i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 (i^{1} i)}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 (i^{1} i^{1})}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 i^{1 + 1}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 i^{2}}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i - 6 \cdot - 1}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{3 - 2 i + 9 i + 6}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.2

Добавим $3$ и $6$ .

$\frac{9 - 2 i + 9 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $- 2 i$ и $9 i$ .

$\frac{9 + 7 i}{(3 + 2 i) (3 - 2 i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(3 + 2 i) (3 - 2 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + 7 i}{3 (3 - 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + 7 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i (3 - 2 i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 + 7 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 + 3 (- 2 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- 2 i)}$

Этап 2.3.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i + 2 i (- 2 i)}$

Этап 2.3.2.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i i}$

Этап 2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 6 i + 6 i - 4 i^{2}}$

Этап 2.3.2.9

Добавим $- 6 i$ и $6 i$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 + 0 - 4 i^{2}}$

Этап 2.3.2.10

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 4 i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 - 4 \cdot - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{9 + 7 i}{9 + 4}$

Этап 2.3.4

Добавим $9$ и $4$ .

$\frac{9 + 7 i}{13}$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{9 + 7 i}{13}$ на две дроби.

$\frac{9}{13} + \frac{7 i}{13}$