Математический анализ Примеры

$f (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 4 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Этап 2

По правилу суммы производная $4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 + 0)$

Этап 4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \cdot 4$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \cdot 4$

Этап 5.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \cdot 4$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \cdot 4$

Этап 5.4.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \cdot 4$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4$

Этап 5.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 4$

Этап 5.7

Объединим $\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $4$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 4}{2}$

Этап 5.8

Перенесем $4$ влево от ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 5.9

Перенесем ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.10

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 5.11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$