Математический анализ Примеры

$\sqrt{15 x}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15 x}$ в виде ${(15 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(15 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Вынесем множитель $15$ из $15 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(15 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $15 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Поскольку $15^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $15^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $15^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$15^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$15^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$15^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Объединим $15^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$