Математический анализ Примеры

$5 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} {(6 x + 8)}^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x + 8)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 x + 8)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(6 x + 8)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 8)}^{4}] + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 6 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x + 8$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 8$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 8]) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $6 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.4

Умножим $6$ на $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [8])) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.5

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $6$ и $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(6 x + 8)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.6.2

Умножим $6$ на $4$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + {(6 x + 8)}^{4} (2 x))$

Этап 4.8

Перенесем $2$ влево от ${(6 x + 8)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3}) + 2 \cdot {(6 x + 8)}^{4} x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} (24 {(6 x + 8)}^{3})) + 5 (2 {(6 x + 8)}^{4} x)$

Этап 5.2

Умножим $24$ на $5$ .

$120 (x^{2} ({(6 x + 8)}^{3})) + 5 (2 {(6 x + 8)}^{4} x)$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $5$ .

$120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 10 ({(6 x + 8)}^{4} x)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ из $120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3} + 10 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ из $120 x^{2} {(6 x + 8)}^{3}$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 {(6 x + 8)}^{4} x$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ из $10 {(6 x + 8)}^{4} x$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $10 x {(6 x + 8)}^{3}$ из $10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x) + 10 x {(6 x + 8)}^{3} (6 x + 8)$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (12 x + 6 x + 8)$

Этап 5.5

Добавим $12 x$ и $6 x$ .

$10 x {(6 x + 8)}^{3} (18 x + 8)$