Математический анализ Примеры

${(- 3 + 2 x^{4})}^{- 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = - 3 + 2 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 3 + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 + 2 x^{4}$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 3 + 2 x^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 + 2 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 2.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 2 (4 x^{3}))$

Этап 3.3

Умножим $4$ на $2$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (0 + 8 x^{3})$

Этап 4

Добавим $0$ и $8 x^{3}$ .

$- 2 {(- 3 + 2 x^{4})}^{- 3} (8 x^{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} (8 x^{3})$

Этап 5.2.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

Этап 5.2.4

Объединим $- 8$ и $\frac{2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ .

$\frac{- 8 \cdot 2}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

Этап 5.2.5

Умножим $- 8$ на $2$ .

$\frac{- 16}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}} x^{3}$

Этап 5.2.6

Объединим $\frac{- 16}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3}}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$

Этап 5.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16 x^{3}}{{(- 3 + 2 x^{4})}^{3}}$