Математический анализ Примеры

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

Этап 1

Вынесем $z^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(z^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

Этап 2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

Этап 3

Развернем $(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Этап 3.4

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Этап 3.5

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

Этап 3.7

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 6

По правилу степени интеграл $z^{- 2}$ по $z$ имеет вид $- z^{- 1}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 7

Поскольку $12$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 8

По правилу степени интеграл $z^{- 3}$ по $z$ имеет вид $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $z^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 9.2

Перенесем $z^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Этап 10

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

Этап 11

По правилу степени интеграл $z^{- 4}$ по $z$ имеет вид $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $z^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

Этап 12.1.2

Перенесем $z^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

Этап 12.3.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{3 z^{3}}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Этап 12.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 z^{3}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

Этап 12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Этап 12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$