Математический анализ Примеры

$- \frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Этап 1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{2 x}{x^{2} - 8} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int \frac{x}{x^{2} - 8} d x)$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int \frac{x}{x^{2} - 8} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{2} - 8$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{2} - 8$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$- \ln (| u |) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8$ .

$- \ln (| x^{2} - 8 |) + C$