Математический анализ Примеры

$\frac{2 d t}{\sqrt{t}}$

Этап 1

Поскольку $\frac{2 t}{\sqrt{t}}$ — константа по отношению к $d$ , вынесем $\frac{2 t}{\sqrt{t}}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2 t}{\sqrt{t}} \int d d \cdot d$

Этап 2

По правилу степени интеграл $d$ по $d$ имеет вид $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{2 t}{\sqrt{t}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{2 t}{\sqrt{t}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ в виде $\frac{2 t \sqrt{t}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ .

$\frac{2 t \sqrt{t}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.2

Умножим $t$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t)}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.2.2

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2} + 1}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.2.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.3

Перенесем $t^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 t^{\frac{3}{2}} t^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4

Умножим $t^{\frac{3}{2}}$ на $t^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Перенесем $t^{- 1}$ .

$2 (t^{- 1} t^{\frac{3}{2}}) (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 t^{- 1 + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 t^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 t^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 t^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 t^{\frac{- 2 + 3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.4.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $d^{2}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Этап 3.2.6

Объединим $2$ и $\frac{d^{2}}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{2 d^{2}}{2} + C$

Этап 3.2.7

Объединим $t^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 d^{2}}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 d^{2})}{2} + C$

Этап 3.2.8

Перенесем $2$ влево от $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

Этап 3.2.9

Сократим общий множитель.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

Этап 3.2.10

Разделим $t^{\frac{1}{2}} d^{2}$ на $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$