Математический анализ Примеры

$\frac{4 + 6 x}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 6 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (4 + 6 x) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Развернем $(4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Этап 4.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4.7

Изменим порядок $4 x^{- \frac{1}{2}}$ и $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $6$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.4

Умножим $4$ на $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$