Математический анализ Примеры

$\frac{225 + 10 x}{1 + 0.05 x}$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 0.05 x$ . Тогда $d u = 0.05 d x$ , следовательно $\frac{1}{0.05} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 0.05 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$\frac{0.05}{1}$

Этап 1.1.2

Разделим $0.05$ на $1$ .

$0.05$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{4500 + 200 (20 u - 20)}{u} d u$

Этап 2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{4500}{u} + \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4500}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Этап 4

Поскольку $4500$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $4500$ из-под знака интеграла.

$4500 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Этап 6

Поскольку $200$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $200$ из-под знака интеграла.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int \frac{20 u - 20}{u} d u$

Этап 7

Разделим $20 u - 20$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$u$

$0$

$20 u$

$20$

Этап 7.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 u$ на член с максимальной степенью в делителе $u$ .

					$20$
	$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$

Этап 7.3

Умножим новое частное на делитель.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			+	$20 u$	+	$0$

Этап 7.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 u + 0$ .

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$

Этап 7.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$
					-	$20$

Этап 7.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int 20 - \frac{20}{u} d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (\int 20 d u + \int - \frac{20}{u} d u)$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C + \int - \frac{20}{u} d u)$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - \int \frac{20}{u} d u)$

Этап 11

Поскольку $20$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - (20 \int \frac{1}{u} d u))$

Этап 12

Умножим $20$ на $- 1$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 (\ln (| u |) + C))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

$4500 \ln (| u |) + 4000 u - 4000 \ln (| u |) + C$

Этап 14.2

Вычтем $4000 \ln (| u |)$ из $4500 \ln (| u |)$ .

$4000 u + 500 \ln (| u |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 0.05 x$ .

$4000 (1 + 0.05 x) + 500 \ln (| 1 + 0.05 x |) + C$