Математический анализ Примеры

$\frac{2 x^{4} - 3 x^{2} + 2}{x^{2} - 6 x + 8}$

Этап 1

Разделим $2 x^{4} - 3 x^{2} + 2$ на $x^{2} - 6 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} - 12 x^{3} + 16 x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $12 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $12 x^{3} - 72 x^{2} + 96 x$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

Этап 1.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{2}$

$12 x$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Этап 1.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $53 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

Этап 1.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Этап 1.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $53 x^{2} - 318 x + 424$ .

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

Этап 1.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{2}$

$12 x$

$53$

$x^{2}$

$6 x$

$8$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$2$

$2 x^{4}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$19 x^{2}$

$0 x$

$12 x^{3}$

$72 x^{2}$

$96 x$

$53 x^{2}$

$96 x$

$2$

$53 x^{2}$

$318 x$

$424$

$222 x$

$422$

Этап 1.16

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 2 x^{2} + 12 x + 53 + \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 12 x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 5

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 \int x d x + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 53 d x + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{222 x - 422}{x^{2} - 6 x + 8} d x$

Этап 9

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $222 x - 422$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $222 x$ .

$\frac{2 (111 x) - 422}{x^{2} - 6 x + 8}$

Этап 9.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 422$ .

$\frac{2 (111 x) + 2 (- 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Этап 9.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (111 x) + 2 (- 211)$ .

$\frac{2 (111 x - 211)}{x^{2} - 6 x + 8}$

Этап 9.1.1.2

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 9.1.1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 (111 x - 211)}{(x - 4) (x - 2)}$

Этап 9.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Этап 9.1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 9.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 4) (x - 2)$ .

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 4) (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.6

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (111 x - 211) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.6.2

Разделим $2 (111 x - 211)$ на $1$ .

$2 (111 x - 211) = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (111 x) + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Умножим $111$ на $2$ .

$222 x + 2 \cdot - 211 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.8.2

Умножим $2$ на $- 211$ .

$222 x - 422 = \frac{(A) (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1

Сократим общий множитель $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$222 x - 422 = \frac{A (x - 4) (x - 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.9.1.2

Разделим $(A) (x - 2)$ на $1$ .

$222 x - 422 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$222 x - 422 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.9.3

Перенесем $- 2$ влево от $A$ .

$222 x - 422 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.9.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$222 x - 422 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x - 2)}{x - 2}$

Этап 9.1.9.4.2

Разделим $(B) (x - 4)$ на $1$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + (B) (x - 4)$

Этап 9.1.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 4$

Этап 9.1.9.6

Перенесем $- 4$ влево от $B$ .

$222 x - 422 = A x - 2 A + B x - 4 B$

Этап 9.1.10

Перенесем $- 2 A$ .

$222 x - 422 = A x + B x - 2 A - 4 B$

Этап 9.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$222 = A + B$

Этап 9.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Этап 9.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$222 = A + B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Этап 9.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Решим относительно $A$ в $222 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 222$ .

$A + B = 222$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Этап 9.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 2 A - 4 B$

Этап 9.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $222 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 422 = - 2 A - 4 B$ на $222 - B$ .

$- 422 = - 2 (222 - B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Упростим $- 2 (222 - B) - 4 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 422 = - 2 \cdot 222 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $222$ .

$- 422 = - 444 - 2 (- B) - 4 B$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 + 2 B - 4 B$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.2.2.1.2

Вычтем $4 B$ из $2 B$ .

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

$- 422 = - 444 - 2 B$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3

Решим относительно $B$ в $- 422 = - 444 - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 444 - 2 B = - 422$ .

$- 444 - 2 B = - 422$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.2.1

Добавим $444$ к обеим частям уравнения.

$- 2 B = - 422 + 444$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3.2.2

Добавим $- 422$ и $444$ .

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

$- 2 B = 22$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3.3

Разделим каждый член $- 2 B = 22$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 2 B = 22$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

$B = \frac{22}{- 2}$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.3.3.1

Разделим $22$ на $- 2$ .

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

$B = - 11$

$A = 222 - B$

Этап 9.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 11$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 222 - B$ на $- 11$ .

$A = 222 - (- 11)$

$B = - 11$

Этап 9.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Упростим $222 - (- 11)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$A = 222 + 11$

$B = - 11$

Этап 9.3.4.2.1.2

Добавим $222$ и $11$ .

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

$A = 233$

$B = - 11$

Этап 9.3.5

Перечислим все решения.

$A = 233, B = - 11$

Этап 9.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{233}{x - 4} + \frac{- 11}{x - 2}$

Этап 9.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} - \frac{11}{x - 2} d x$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + \int \frac{233}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Этап 11

Поскольку $233$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $233$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{x - 4} d x + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Этап 12

Пусть $u_{1} = x - 4$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{1} = x - 4$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 12.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{11}{x - 2} d x$

Этап 14

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{11}{x - 2} d x$

Этап 15

Поскольку $11$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - (11 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Этап 16

Умножим $11$ на $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 17

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 17.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 17.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 17.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 17.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 17.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 18

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 12 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 53 x + C + 233 (\ln (| u_{1} |) + C) - 11 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 19

Упростим.

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| u_{1} |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 20

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 4$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 20.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$

Этап 21

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} x^{3} + 6 x^{2} + 53 x + 233 \ln (| x - 4 |) - 11 \ln (| x - 2 |) + C$