Математический анализ Примеры

$\frac{2 v^{2} + 6 v + 5}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}}$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{v + 2}$

Этап 1.1.2

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{(v + 2) {(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $v + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель ${(v + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(2 v^{2} + 6 v + 5) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $2 v^{2} + 6 v + 5$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{(A) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $v + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = \frac{A (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) {(v + 1)}^{2}$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = (A) {(v + 1)}^{2} + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.2

Перепишем ${(v + 1)}^{2}$ в виде $(v + 1) (v + 1)$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A ((v + 1) (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.3

Развернем $(v + 1) (v + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v (v + 1) + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 (v + 1)) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v \cdot v + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1.1

Умножим $v$ на $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v \cdot 1 + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.4.1.2

Умножим $v$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + 1 v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.4.1.3

Умножим $v$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1 \cdot 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + v + v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.4.2

Добавим $v$ и $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A (v^{2} + 2 v + 1) + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + A (2 v) + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A \cdot 1 + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.6.2

Умножим $A$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.7

Сократим общий множитель ${(v + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.7.1

Сократим общий множитель.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + \frac{(B) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.7.2

Разделим $(B) (v + 2)$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + (B) (v + 2) + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.8

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + B \cdot 2 + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.9

Перенесем $2$ влево от $B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 \cdot B + \frac{(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}}{v + 1}$

Этап 1.1.7.10

Сократим общий множитель ${(v + 1)}^{2}$ и $v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.10.1

Вынесем множитель $v + 1$ из $(C) (v + 2) {(v + 1)}^{2}$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{v + 1}$

Этап 1.1.7.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.10.2.1

Умножим на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Этап 1.1.7.10.2.2

Сократим общий множитель.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(v + 1) ((C) (v + 2) (v + 1))}{(v + 1) \cdot 1}$

Этап 1.1.7.10.2.3

Перепишем это выражение.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + \frac{(C) (v + 2) (v + 1)}{1}$

Этап 1.1.7.10.2.4

Разделим $(C) (v + 2) (v + 1)$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C) (v + 2) (v + 1)$

Этап 1.1.7.11

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + C \cdot 2) (v + 1)$

Этап 1.1.7.12

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + (C v + 2 \cdot C) (v + 1)$

Этап 1.1.7.13

Развернем $(C v + 2 C) (v + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v (v + 1) + 2 C (v + 1)$

Этап 1.1.7.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C (v + 1)$

Этап 1.1.7.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v \cdot v + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Этап 1.1.7.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.14.1.1

Умножим $v$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.14.1.1.1

Перенесем $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C (v \cdot v) + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Этап 1.1.7.14.1.1.2

Умножим $v$ на $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v \cdot 1 + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Этап 1.1.7.14.1.2

Умножим $C$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C \cdot 1$

Этап 1.1.7.14.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + C v + 2 C v + 2 C$

Этап 1.1.7.14.2

Добавим $C v$ и $2 C v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 A v + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Этап 1.1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Перенесем $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Этап 1.1.8.2

Изменим порядок $B$ и $v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + 2 B + C v^{2} + 3 C v + 2 C$

Этап 1.1.8.3

Перенесем $2 B$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + A + B v + C v^{2} + 3 C v + 2 B + 2 C$

Этап 1.1.8.4

Перенесем $A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + B v + C v^{2} + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Этап 1.1.8.5

Перенесем $B v$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + 2 v A + C v^{2} + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Этап 1.1.8.6

Перенесем $2 v A$ .

$2 v^{2} + 6 v + 5 = A v^{2} + C v^{2} + 2 v A + B v + 3 C v + A + 2 B + 2 C$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A + C$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $v$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = 2 A + B + 3 C$

Этап 1.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $v$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$2 = A + C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $2 = A + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + C = 2$ .

$A + C = 2$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$A = 2 - C$

$6 = 2 A + B + 3 C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2 - C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $6 = 2 A + B + 3 C$ на $2 - C$ .

$6 = 2 (2 - C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $2 (2 - C) + B + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 = 2 \cdot 2 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 = 4 + 2 (- C) + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 - 2 C + B + 3 C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.2.2.1.2

Добавим $- 2 C$ и $3 C$ .

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = A + 2 B + 2 C$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $5 = A + 2 B + 2 C$ на $2 - C$ .

$5 = (2 - C) + 2 B + 2 C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Этап 1.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.4.1

Добавим $- C$ и $2 C$ .

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 - C$

Этап 1.3.3

Изменим порядок $2$ и $- C$ .

$A = - C + 2$

$5 = 2 + 2 B + C$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.4

Решим относительно $C$ в $5 = 2 + 2 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 + 2 B + C = 5$ .

$2 + 2 B + C = 5$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.4.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 B + C = 5 - 2$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.4.2.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$C = 5 - 2 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.4.2.3

Вычтем $2$ из $5$ .

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

$C = 3 - 2 B$

$A = - C + 2$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.5

Заменим все вхождения $C$ на $3 - 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $A = - C + 2$ на $3 - 2 B$ .

$A = - (3 - 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Упростим $- (3 - 2 B) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A = - 1 \cdot 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.5.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$A = - 3 - (- 2 B) + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.5.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = - 3 + 2 B + 2$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.5.2.1.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + C$

Этап 1.3.5.3

Заменим все вхождения $C$ в $6 = 4 + B + C$ на $3 - 2 B$ .

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.5.4

Упростим $6 = 4 + B + 3 - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1.1

Избавимся от скобок.

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = 4 + B + 3 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.2.1

Упростим $4 + B + 3 - 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.2.1.1

Добавим $4$ и $3$ .

$6 = B + 7 - 2 B$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.5.4.2.1.2

Вычтем $2 B$ из $B$ .

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$6 = - B + 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6

Решим относительно $B$ в $6 = - B + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Перепишем уравнение в виде $- B + 7 = 6$ .

$- B + 7 = 6$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- B = 6 - 7$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6.2.2

Вычтем $7$ из $6$ .

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$- B = - 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6.3

Разделим каждый член $- B = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.1

Разделим каждый член $- B = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6.3.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = \frac{- 1}{- 1}$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.3.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

$B = 1$

$A = 2 B - 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.7

Заменим все вхождения $B$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 2 B - 1$ на $1$ .

$A = 2 (1) - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Упростим $2 (1) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$A = 2 - 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.7.2.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 3 - 2 B$

Этап 1.3.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $C = 3 - 2 B$ на $1$ .

$C = 3 - 2 \cdot 1$

$A = 1$

$B = 1$

Этап 1.3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1

Упростим $3 - 2 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.4.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$C = 3 - 2$

$A = 1$

$B = 1$

Этап 1.3.7.4.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = 1$

$A = 1$

$B = 1$

Этап 1.3.8

Перечислим все решения.

$C = 1, A = 1, B = 1$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{v + 2} + \frac{B}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{C}{v + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1}$

Этап 1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{v + 2} + \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} + \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{v + 2} d v + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 3

Пусть $u_{1} = v + 2$ . Тогда $d u_{1} = d v$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = v + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $v + 2$ .

$\frac{d}{d v} [v + 2]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $v + 2$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [2]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [2]$

Этап 3.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{(v + 1)}^{2}} d v + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 5

Пусть $u_{2} = v + 1$ . Тогда $d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = v + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $v + 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $v$ , производная $1$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 6.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 7

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{v + 1} d v$

Этап 8

Пусть $u_{3} = v + 1$ . Тогда $d u_{3} = d v$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{3} = v + 1$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [v + 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $v + 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $v$ , производная $1$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - {u_{2}}^{- 1} + C + \ln (| u_{3} |) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\ln (| u_{1} |) - \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{3} |) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} | | u_{3} |) + C$

Этап 10.2.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$- \frac{1}{u_{2}} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| u_{1} \cdot u_{3} |) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $v + 2$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) u_{3} |) + C$

Этап 11.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $v + 1$ .

$- \frac{1}{v + 1} + \ln (| (v + 2) (v + 1) |) + C$