Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{2 - x}$ , $x = 1$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{2 - (1)}$

Этап 1.2

Упростим $\sqrt{2 - (1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \sqrt{2 - 1}$

Этап 1.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$y = \sqrt{1}$

Этап 1.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 - x}$ в виде ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.7.3

Перенесем ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Этап 2.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.14

Найдем производную в $x = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 - (1))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.1.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.15.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.15.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{2}$ и координаты заданной точки $(1, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 1$

Этап 3.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 2}{2}$

Этап 3.3.2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{3}{2}$

Этап 3.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Этап 4