Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{1 - x}$ , $a = 0$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 0$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Этап 3

Найдем значение $f (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{1 - (0)}$

Этап 3.2

Упростим $\sqrt{1 - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt{1 - (0)}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\sqrt{1}$

Этап 3.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = \sqrt{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x}$ в виде ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Этап 4.1.13.2

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вычтем $0$ из $1$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} (x - 0)$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $0$ из $x$ .

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} x$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$L (x) = 1 - \frac{x}{2}$

Этап 7