Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x}{x^{2}}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 2 x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - x}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - x}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x^{2}} d x$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x} d x$

Этап 2

Разделим $x^{2} - 2 x - 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Этап 2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Этап 2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Этап 2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Этап 2.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

Этап 2.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

Этап 2.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Этап 2.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 0$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Этап 2.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							-	$1$

Этап 2.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x - 2 - \frac{1}{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (\ln (| x |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - \ln (| x |) + C$