Математический анализ Примеры

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Этап 1.2

Объединим $\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ и $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $d$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} + 2$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 6.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 8.2.3

Умножим $\frac{d}{2}$ на $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2.4

Перенесем $2$ влево от $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2.5

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2.6

Перепишем это выражение.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$