Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2}}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{3} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x^{3} - 1) x^{- 2} d x$

Этап 2

Умножим $(x^{3} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{3} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.1.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int x^{1} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Упростим $x^{1}$ .

$\int x - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.3

Перепишем $- 1 x^{- 2}$ в виде $- x^{- 2}$ .

$\int x - x^{- 2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - x^{- 2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - - x^{- 1} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 x^{- 1} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $x^{- 1}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x^{- 1} + C$