Математический анализ Примеры

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $1 + \cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Этап 4

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (x)$ в $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 5

Используем формулу Пифагора для преобразования $1$ в $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ из ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Этап 6.2

Добавим ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ и ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Этап 6.3

Добавим $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 7

Умножить аргумент на $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Этап 8

Объединим.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Этап 9

Умножим ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Этап 10

Выразим $\sec (\frac{u}{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Этап 11

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Этап 12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Этап 13

Умножим $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 13.2

Объединим $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ и $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Этап 14

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 15

Выразим $\sec (\frac{u}{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 16

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 17

Объединим.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Этап 18

Сократим общий множитель $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Этап 18.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 19

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 20

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Этап 21

Разделим дроби.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 22

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ в $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Этап 23

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Этап 23.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Этап 24

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

Этап 25

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , следовательно $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1

Дифференцируем $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Этап 25.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $\frac{u_{1}}{2}$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 25.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 25.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 25.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Этап 26

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

Этап 26.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

Этап 26.3

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 27

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

Этап 28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 28.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 28.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 28.3

Умножим $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 29

Поскольку производная $\tan (u_{2})$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ , интеграл $\sec^{2} (u_{2})$ равен $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

Этап 30

Упростим.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

Этап 31

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 31.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

Этап 31.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Этап 32

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Сократим выражение $\frac{2 x}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Этап 32.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

Этап 32.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$