Математический анализ Примеры

$\sec^{3} (2 x)$

Этап 1

Вынесем множитель $\sec (2 x)$ из $\sec^{3} (2 x)$ .

$\int \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (2 x)$ и $d v = \sec^{2} (2 x)$ .

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{\tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Этап 4.2

Объединим $\sec (2 x)$ и $\frac{\tan (2 x)}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Этап 5

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) d x)$

Этап 6

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) d x)$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) d x)$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) d x)$

Этап 8.2

Изменим порядок $\tan^{2} (2 x)$ и $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) d x)$

Этап 9

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (2 x)$ и $d v = \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Этап 11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Этап 11.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

Этап 11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

Этап 11.5

Объединим $\sec (2 x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

Этап 11.6

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + 2 (\frac{2}{2}) \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 11.7

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 11.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{4}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Этап 12

Найдя решение для $\int \sec^{3} (2 x) d x$ , получим $\int \sec^{3} (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x)$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \cdot \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.2.2

Разделим $\sec (2 x)$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.3

Чтобы записать $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot \frac{2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.4

Объединим $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} + \frac{- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Этап 13.1.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + C$

Этап 13.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + C$

Этап 13.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + C$

Этап 13.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 1}{1}} + C$

Этап 13.1.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1} + C$

Этап 13.1.8

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

Этап 13.1.9

Перепишем $- 1 \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ в виде $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

Этап 13.2

Перепишем $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$ в виде $- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$ .

$- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (2 x) x}{2} + C$

Этап 13.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \sec (2 x) x}{2} + C$

Этап 13.3.2.2

Разделим $\sec (2 x) x$ на $1$ .

$- (\sec (2 x) x) + C$

$- \sec (2 x) x + C$