Математический анализ Примеры

$\frac{5}{1 + 2 t}$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{1}{1 + 2 t} d t$

Этап 2

Пусть $u = 1 + 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 2 t]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$5 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 2 t$ .

$\frac{5}{2} \ln (| 1 + 2 t |) + C$