Математический анализ Примеры

$\frac{5 x + 2}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{5 x + 2}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (5 x + 2) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 x + 2) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int (5 x + 2) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (5 x + 2) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4

Развернем $(5 x + 2) x^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 5 x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 5 (x^{1} x^{- \frac{1}{3}}) + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 x^{1 - \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int 5 x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 5 x^{\frac{3 - 1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 4.6

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$5 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $5$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $15$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 (1)} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.5

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10.2.6.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} + C$