Математический анализ Примеры

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Тогда $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , следовательно $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $7 + 5 e^{- 3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- 3 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Этап 2.1.3.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Этап 2.1.3.6

Перенесем $- 3$ влево от $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 3$ на $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Этап 2.1.4

Вычтем $15 e^{- 3 x}$ из $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Этап 3.2

Объединим ${u_{2}}^{2}$ и $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{15}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{15}$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{15}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 8

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$