Математический анализ Примеры

$3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int \sqrt[3]{x} d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.6

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3)}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C$