Математический анализ Примеры

$2 \sqrt{2 x - 2}$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sqrt{2 x - 2} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x - 2$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $\int \sqrt{u} d u$ на $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 2)}^{\frac{3}{2}} + C$