Математический анализ Примеры

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

Этап 2

Пусть $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ положительно.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.2

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.2.5

Найдем экспоненту.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.3

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.1.3.5

Найдем экспоненту.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \tan^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.2.2

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.2.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.3

Применим формулу Пифагора.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.4

Изменим порядок $6$ и $\sec^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Этап 3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Этап 3.2.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

Этап 3.2.5

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

Этап 3.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

Этап 3.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

Этап 3.2.8

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Этап 3.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Этап 3.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Этап 3.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Этап 3.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

Этап 3.2.8.5

Найдем экспоненту.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

Этап 3.2.9

Перенесем $6$ влево от $\sec^{3} (t)$ .

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

Этап 4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $6$ на $5$ .

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

Этап 5.2

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{3} (t)$ .

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sec (t)$ и $d v = \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Этап 7

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Этап 8

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1$ и $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 10.2

Изменим порядок $\tan^{2} (t)$ и $\sec (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Этап 11

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Этап 12

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 12.3

Изменим порядок $\sec (t)$ и $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Этап 13

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Этап 14

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Этап 15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Этап 16

Добавим $1$ и $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Этап 17

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Этап 18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Этап 19

Добавим $2$ и $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Этап 20

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 21

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 22

Интеграл $\sec (t)$ по $t$ имеет вид $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Этап 23

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 23.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Этап 24

Найдя решение для $\int \sec^{3} (t) d t$ , получим $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Этап 25

Умножим $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ на $1$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Этап 26

Упростим.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Объединим $30$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27.2

Сократим общий множитель $30$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 27.2.2.4

Разделим $15$ на $1$ .

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Этап 28

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ .

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

Этап 29

Изменим порядок членов.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$