Математический анализ Примеры

$12 x^{3} \sqrt{x}$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 12 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Этап 1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Этап 1.2.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 12 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\int 12 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\int 12 x^{\frac{7}{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{\frac{7}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$12 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $12 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$ в виде $12 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$ .

$12 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $12$ и $\frac{2}{9}$ .

$\frac{12 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 4.2.2

Умножим $12$ на $2$ .

$\frac{24}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $24$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$\frac{3 (8)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Этап 4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$