Математический анализ Примеры

$\cot (x) \csc^{2} (x)$

Этап 1

Пусть $u = \csc (x)$ . Тогда $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \csc (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Этап 1.1.3

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 1 u d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 4

Перепишем $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$- \frac{1}{2} u^{2} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$- \frac{1}{2} \csc^{2} (x) + C$