Математический анализ Примеры

$\cos (\frac{1 x}{3})$

Этап 1

Умножим $x$ на $1$ .

$\int \cos (\frac{x}{3}) d x$

Этап 2

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\int \cos (u) (1 \cdot 3) d u$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\int \cos (u) \cdot 3 d u$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $\cos (u)$ .

$\int 3 \cos (u) d u$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \cos (u) d u$

Этап 5

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$3 (\sin (u) + C)$

Этап 6

Упростим.

$3 \sin (u) + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3}$ .

$3 \sin (\frac{x}{3}) + C$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$3 \sin (\frac{1}{3} x) + C$