Математический анализ Примеры

$\frac{x - z}{y + z}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $x - z$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x - z}{y + z}$ по $y$ равна $(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y + z}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{y + z}$ в виде ${(y + z)}^{- 1}$ .

$(x - z) \frac{d}{d y} [{(y + z)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y + z$ .

$(x - z) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y + z])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(x - z) (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + z$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y + z])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $y + z$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]))$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d y} [z]))$

Этап 3.3

Поскольку $z$ является константой относительно $y$ , производная $z$ относительно $y$ равна $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} (1 + 0))$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2} \cdot 1)$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x - z) (- {(y + z)}^{- 2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $(x - z) (- \frac{1}{{(y + z)}^{2}})$ .

$- (x - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- x - - z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.4

Умножим $- - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(- x + 1 z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.4.2

Умножим $z$ на $1$ .

$(- x + z) \frac{1}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.5

Умножим $- x + z$ на $\frac{1}{{(y + z)}^{2}}$ .

$\frac{- x + z}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + z}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $z$ .

$\frac{- (x) - 1 (- z)}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- z)$ .

$\frac{- (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.9

Перепишем $- (x - z)$ в виде $- 1 (x - z)$ .

$\frac{- 1 (x - z)}{{(y + z)}^{2}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - z}{{(y + z)}^{2}}$